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Wie immer gilt: "Dieser Beitrag stellt ausschließlich eine persönliche Meinung dar. Er erhebt weder Anspruch auf vollständige Richtigkeit, noch sollte jemand seine Inhalte ungeprüft übernehmen."
Ich stehe weder mit dem Autor, noch mit den Verlag des Buches in Verbindung, sondern schreibe einfach über etwas, das mich grade interessiert.
An der Universität Oxford gibt es einen Lehrstuhl, eine Stiftungsprofessur, für das öffentliche Verständnis der Naturwissenschaften. Bis zum Jahre 2008 wurde dieser Lehrstuhl durch Richard Dawkins besetzt. Seither von Marcus du Sautoy. Man ist also von einem Verhaltensbiologen zu einen Mathematiker gewechselt. Du Sautoy wurde dabei natürlich immer wieder auf Themen von Dawkins angesprochen, so auch auf den Atheismus.
Dies hat ihn, nach eigenen Angaben, motiviert ein Buch über die Grenzen der menschlichen Erkenntnis zu schreiben, The Great Unknown: Seven Journeys to the Frontiers of Science. Ich selbst habe das Buch leider nicht gelesen, aber ich habe mir einen Vortrag des Autors darüber auf Youtube angeschaut, den er vor dem Royal Institute, sowie bei Oxford selber, gehalten hat. Beim Recherchieren bin ich dann auch auf eine Besprechung im Guardian gestoßen. Auf diesen Quellen basiert dann auch meine Besprechung hier in diesem Text.
Welches sind denn nun die sieben Grenzen der Erkenntnis, die der Autor uns vorführt?
Die erste Grenze betrifft das Chaos. Da der Autor und Vortragende über ein verwandtes Thema promoviert hat, hat das Thema während des Vortrags den breitesten Raum eingenommen. "Chaos" in diesem Zusammenhang bezeichnet die Eigenschaft von Systemen, schon durch kleinste Abweichungen der Startbedingungen völlig andere Ergebnisse zu produzieren, die deshalb zum Teil unvorhersehbar sind.
Sehr eindrucksvoll für mich war das Beispiel des magnetischen Pendels. Es handelt sich um einen Magneten, der auf einem Seil über einem Dreieck aus drei Magneten hängt. Seltsamerweise findet man es unter diesen Namen sogar im Internet, obwohl ich mir den grade ausgedacht habe.
Man kann jetzt berechnen, von welcher Ausgangsposition aus sich das Pendel auf welchen Magneten zubewegen wird. Das ist zum Teil trivial. Lässt man das Pendel beispielsweise direkt gegenüber einen der Magneten los, so bewegt es sich am Ende auch genau auf diesen Magneten zu. Das ändert sich aber, wenn man das Pendel sehr weit von den Magneten weg loslässt oder im Bereich zwischen zwei Magneten oder an anderen Stellen. Hier kommt es auf die genaue Position an, wo der Magnet zum Stoppen kommt. Laut du Sautoy sei dies im Bereich zwischen zwei Magneten sogar fraktal. Wer sich etwas damit befasst oder sich im Internet einen Mandelbrotzoom angeschaut hat, der kann sich vorstellen, was das bedeutet. Man müsste die Position des Pendels beim Ausgangspunkt sehr präzise bestimmen können, um vorherzusagen, wo es zum stehen kommt. Wahrscheinlich präziser als überhaupt menschenmöglich wäre, da minimalste Abweichungen zu einem anderen Ergebnis führen.
Es gab noch andere Veranschaulichungen, etwa das Doppelpendel, aber ich denke, das Prinzip ist klar. Wir leben in einer Welt mit Prozessen, bei denen lächerlich kleine Abweichungen zu völlig anderen Ergebnissen führen können. Auch deshalb ist die Zukunft nicht vorhersehbar.
Die zweite Grenze betrifft wirklichen Zufall, also Ereignisse, die nicht mal theoretisch determiniert sind. Die Rede ist von der heisenbergschen Unschärferelation.
Je exakter man die Position eines Teilchens bestimmt, umso unschärfer wird der Impuls und umgekehrt. Man kann die Relation auch auf Zeit und Energiezustand anwenden, du Sautoy deutet sogar kosmologische Schlussfolgerungen an.
Ich denke, uns allen sollte das Beispiel aus der Schule bekannt sein. Wir können zwar vorhersagen, wann etwa die Hälfte der Atome eines Isotopes zerfallen sein werden, aber nicht welches Atom demnächst zerfallen wird.
Die letzte große Grenze, auf die der Autor immer wieder zu sprechen kam, war das Bewusstsein. Genauer gesagt das, was als "hard problem" bezeichnet wird.
Veranschaulicht wird das durch Experimente an Tieren und Kindern, um herauszubekommen, ab wann wir über Bewusstsein verfügen.
Das war wohl auch der umstrittenste Punkt, denn was das Bewusstsein ist und wie es entsteht, das mag zwar gegenwärtig unbekannt sein, aber es gibt natürlich viele Theorien und einige Forscher haben den Optimismus, dieses Problem bald lösen zu können.
Ich konnte daraus vor allen Dingen den Hinweis auf eine Formel mitnehmen, die Bewusstsein als eine Form der neuronalen Komplexität beschreibt.
Das sind natürlich nicht alle 7 Grenzen, die anderen nahmen im Vortrag nur keine so prominente Rolle ein.
Beispielsweise geht es auch um die Natur der Zeit. Was ist Zeit?, hat die Zeit irgendwie begonnen, hat sie eine Ursache, wird sie irgendwann enden. Wer hätte sich solche Fragen nicht schon mal irgendwann gestellt. Du Sautoy bringt in diesem Zusammenhang auch das berühmte Zitat des Kirchenvaters Augustinus, der ja wusste, was Zeit ist, bis ihn jemand eine Frage danach stellte.
So wie angedeutet wird, gibt es in der Physik offenbar die Idee, Zeit selbst sei eine Art Prozess. Etwas, das irgendwann startet und irgendwann endet. So verblüffend das auch klingt, so rätselhaft ist es auch. Es ist schon schwer zu denken, dass Zeit eine Ursache haben könnte, wenn nicht vielleicht sogar unsinnig, da Kausalität ja ein Vorher und Nachher impliziert. Möglicherweise kann man das aber anders definieren, wer weiß.
Einen Zeitpunkt, an dem die Zeit aufhört, ist schwer vorstellbar, wurde allerdings wohl tatsächlich von Kosmologen ins Spiel gebracht. Meines Wissens unter anderen, um Wahrscheinlichkeitsaussagen zu ermöglichen. Leider geht das zwischen den anderen Themen unter.
Die nächste Grenze ist das Universum. Ist es unendlich, in sich geschlossen oder geht es irgendwohin weiter. Der Vortragende selbst sagt, dass er das Multiversum für eine sehr gute Erklärung für die Feinabstimmung der Naturkostanten hält. Das folgende basiert jetzt auf dem, was ich mir selbst dazu gedacht habe, auf Basis der wenigen Informationen. Leider kam das Thema im Vortrag kaum zur Sprache.
Das uns bekannte Universum, alles was wir bis zum kosmischen Mikrowellenhintergrund sehen können, ist natürlich begrenzt. Das ist allerdings nur der "Ereignishorizont" in dem wir uns befinden. Das Licht der Bereiche jenseits davon ist möglicherweise bisher noch nicht zu uns gelangt und wird es auch nie, da sich das Universum immer schneller ausdehnt. Leider habe ich meine exakten Kenntnisse von Einstein grade nicht zur Hand, aber man kann sich das wohl durchaus wie den Lichtkegel vorstellen.
Hinweise darauf, dass jenseits des von uns sichtbaren Bereichs noch Masse existieren könnte, gibt es durchaus. Es gibt die astronomische Beobachtung, dass anscheinend Galaxien und Galaxienhaufen irgendwohin angezogen werden.
In sich geschlossen wäre zum Beispiel ein Ring, wenn man lange genug in die selbe Richtung geht, kommt man wieder am Ausgangspunkt an. Nur, hier ist es der Raum selbst, der in sich gekrümmt ist.
Die jetzt sechste Grenze betrifft die Teilbarkeit von Teilchen selbst. Gibt es eine absolute Untergrenze, also "Atome" im Sinne der alten Philosophen, oder kann man sie immer weiter teilen? Nun, diese Frage können wir laut du Sautoy niemals beantworten, was sich sehr plausibel anhört. Leider kam das weder im Vortrag vor, noch weiß ich etwas darüber zu schreiben.
Die siebte und letzte Grenze, die aber kaum zur Sprache kommt, betrifft die Mathematik selbst. Hier wurde explizit der Name Gödel erwähnt. Wir haben es hier mit einem Bereich der höheren Mathematik zu tun. Es bleibt festzuhalten, dass der Unvollständigkeitssatz sich keineswegs auf das Lügnerparadoxon aus dem Neuen Testament reduzieren lässt. Das ist eher eine Veranschaulichung für uns Laienpublikum. In Wahrheit handelt es sich um eine Eigenschaft von formalen Systemen, die bestimmte Kriterien erfüllen. Allerdings erfüllt nicht jedes formale System diese Kriterien, nur eine bestimmte Gruppe, die für Metamathematiker sehr interessant war.
Es gibt eigentlich auch zwei Unvollständigkeitssätze. Um den Leser noch ein bisschen zu verwirren sei angemerkt, dass Gödels Doktorarbeit eben der Beweis eines Vollständigkeitssatzes gewesen ist, auch wenn "Vollständigkeit" hier anders aufzufassen ist.
Aus dem Unvollständigkeitssatz folge jedenfalls, dass nicht alle in einem System formulierbaren wahren Aussagen auch innerhalb des Systems ableitbar sind. Es gibt in der Mathematik aber noch viele andere Sätze, die ihre eigene Erkenntnisfähigkeit begrenzen. Keine Ahnung, ob die noch irgendwo vorkommen.
Zum Verständnis von Gödel gibt es Sekundärliteratur aus verschiedenen Gesichtspunkten und mit verschiedenen Interpretationen.
Ich fand den Vortrag sehr interessant und kurzweilig. Man muss allerdings anmerken, dass der Autor einige verschiedene Grenzen der Erkenntnis zusammenwirft, wie in der Besprechung im Guardian festgestellt wurde. Einige dieser Grenzen betreffen einfach praktische Probleme, etwa wie weit wir Elemantarteilchen spalten können, wie genau wie Anfangsbedingungen messen. Andere scheinen fundamentale Eigenschaften selbst aufzugreifen. Das "hard problem" ist klar mehr ein philosophisches, während das meines Erachtens verworrenste Problem das der Zeit ist. Hier kann man durchaus, wie in der besagten Besprechung, die transzendentalphilosophische Frage aufwerfen, ob Erkenntnis nicht bereits Zeit voraussetzt, da hierfür eine Art Wechselwirkung zwischen erkannten Objekt und erkennenden Subjekt stattfinden muss. Fragt sich nur, wie diese Wechselwirkung zwischen mathematischen Satz und beweisenden Mathematiker stattfinden soll.
Wahrscheinlich reicht mein Abstraktionsvermögen hier einfach nicht aus und ich schreibe grade Unsinn, ohne es zu merken oder wir haben es mit einer weiteren Instanziierung des "hard problems" zu tun.
Was mir noch aufgefallen ist, keine dieser sieben Grenzen berührt kognitive Verzerrungen oder ökonomische Kalkulationen. Ich stelle mir die Frage, ob der Vortragende davon ausgeht, dass der Mensch über eine unendliche Selbstkorrektur verfügt und zur Erkenntnisgewinnung jeden Preis zu zahlen bereit ist. Ein schönes, aber optimistisches Bild.
Auch kommen Paradoxa nicht vor. Beispielsweise gibt jeder Mensch bereitwillig zu, dass er wohl an einige Dinge glauben wird, die falsch sind. Sich also einfach irrt. Dennoch verteidigt jeder seinen Standpunkt, egal wo man diesen in Zweifel zieht. So als wäre das Weltbild als Ganzes wahrscheinlich falsch, aber jedes einzelne Teil unbezweifelbar korrekt.
Ein weiteres Beispiel wäre Fitchs Paradox des Wissens. Auch "Das Paradox des möglichen Wissens" genannt im Deutschen, offenbar, "Fitch’s Paradox of Knowability" im Englischen.
Kritik ist ausdrücklich erwünscht.
Links habe ich weggelassen. Mittels der Informationen kann jeder selbst im Internet suchen.
Dieser Text darf als Antwort auf diesen Beitrag angesehen werden: https://www.trading-stocks.de/thread-379...#pid100299
P.S.: Im Dezember 1931, also vor etwa 90 Jahren, erscheint Gödels Orginalarbeit über die Unvollständigkeit.
Ich stehe weder mit dem Autor, noch mit den Verlag des Buches in Verbindung, sondern schreibe einfach über etwas, das mich grade interessiert.
An der Universität Oxford gibt es einen Lehrstuhl, eine Stiftungsprofessur, für das öffentliche Verständnis der Naturwissenschaften. Bis zum Jahre 2008 wurde dieser Lehrstuhl durch Richard Dawkins besetzt. Seither von Marcus du Sautoy. Man ist also von einem Verhaltensbiologen zu einen Mathematiker gewechselt. Du Sautoy wurde dabei natürlich immer wieder auf Themen von Dawkins angesprochen, so auch auf den Atheismus.
Dies hat ihn, nach eigenen Angaben, motiviert ein Buch über die Grenzen der menschlichen Erkenntnis zu schreiben, The Great Unknown: Seven Journeys to the Frontiers of Science. Ich selbst habe das Buch leider nicht gelesen, aber ich habe mir einen Vortrag des Autors darüber auf Youtube angeschaut, den er vor dem Royal Institute, sowie bei Oxford selber, gehalten hat. Beim Recherchieren bin ich dann auch auf eine Besprechung im Guardian gestoßen. Auf diesen Quellen basiert dann auch meine Besprechung hier in diesem Text.
Welches sind denn nun die sieben Grenzen der Erkenntnis, die der Autor uns vorführt?
Die erste Grenze betrifft das Chaos. Da der Autor und Vortragende über ein verwandtes Thema promoviert hat, hat das Thema während des Vortrags den breitesten Raum eingenommen. "Chaos" in diesem Zusammenhang bezeichnet die Eigenschaft von Systemen, schon durch kleinste Abweichungen der Startbedingungen völlig andere Ergebnisse zu produzieren, die deshalb zum Teil unvorhersehbar sind.
Sehr eindrucksvoll für mich war das Beispiel des magnetischen Pendels. Es handelt sich um einen Magneten, der auf einem Seil über einem Dreieck aus drei Magneten hängt. Seltsamerweise findet man es unter diesen Namen sogar im Internet, obwohl ich mir den grade ausgedacht habe.
Man kann jetzt berechnen, von welcher Ausgangsposition aus sich das Pendel auf welchen Magneten zubewegen wird. Das ist zum Teil trivial. Lässt man das Pendel beispielsweise direkt gegenüber einen der Magneten los, so bewegt es sich am Ende auch genau auf diesen Magneten zu. Das ändert sich aber, wenn man das Pendel sehr weit von den Magneten weg loslässt oder im Bereich zwischen zwei Magneten oder an anderen Stellen. Hier kommt es auf die genaue Position an, wo der Magnet zum Stoppen kommt. Laut du Sautoy sei dies im Bereich zwischen zwei Magneten sogar fraktal. Wer sich etwas damit befasst oder sich im Internet einen Mandelbrotzoom angeschaut hat, der kann sich vorstellen, was das bedeutet. Man müsste die Position des Pendels beim Ausgangspunkt sehr präzise bestimmen können, um vorherzusagen, wo es zum stehen kommt. Wahrscheinlich präziser als überhaupt menschenmöglich wäre, da minimalste Abweichungen zu einem anderen Ergebnis führen.
Es gab noch andere Veranschaulichungen, etwa das Doppelpendel, aber ich denke, das Prinzip ist klar. Wir leben in einer Welt mit Prozessen, bei denen lächerlich kleine Abweichungen zu völlig anderen Ergebnissen führen können. Auch deshalb ist die Zukunft nicht vorhersehbar.
Die zweite Grenze betrifft wirklichen Zufall, also Ereignisse, die nicht mal theoretisch determiniert sind. Die Rede ist von der heisenbergschen Unschärferelation.
Je exakter man die Position eines Teilchens bestimmt, umso unschärfer wird der Impuls und umgekehrt. Man kann die Relation auch auf Zeit und Energiezustand anwenden, du Sautoy deutet sogar kosmologische Schlussfolgerungen an.
Ich denke, uns allen sollte das Beispiel aus der Schule bekannt sein. Wir können zwar vorhersagen, wann etwa die Hälfte der Atome eines Isotopes zerfallen sein werden, aber nicht welches Atom demnächst zerfallen wird.
Die letzte große Grenze, auf die der Autor immer wieder zu sprechen kam, war das Bewusstsein. Genauer gesagt das, was als "hard problem" bezeichnet wird.
Veranschaulicht wird das durch Experimente an Tieren und Kindern, um herauszubekommen, ab wann wir über Bewusstsein verfügen.
Das war wohl auch der umstrittenste Punkt, denn was das Bewusstsein ist und wie es entsteht, das mag zwar gegenwärtig unbekannt sein, aber es gibt natürlich viele Theorien und einige Forscher haben den Optimismus, dieses Problem bald lösen zu können.
Ich konnte daraus vor allen Dingen den Hinweis auf eine Formel mitnehmen, die Bewusstsein als eine Form der neuronalen Komplexität beschreibt.
Das sind natürlich nicht alle 7 Grenzen, die anderen nahmen im Vortrag nur keine so prominente Rolle ein.
Beispielsweise geht es auch um die Natur der Zeit. Was ist Zeit?, hat die Zeit irgendwie begonnen, hat sie eine Ursache, wird sie irgendwann enden. Wer hätte sich solche Fragen nicht schon mal irgendwann gestellt. Du Sautoy bringt in diesem Zusammenhang auch das berühmte Zitat des Kirchenvaters Augustinus, der ja wusste, was Zeit ist, bis ihn jemand eine Frage danach stellte.
So wie angedeutet wird, gibt es in der Physik offenbar die Idee, Zeit selbst sei eine Art Prozess. Etwas, das irgendwann startet und irgendwann endet. So verblüffend das auch klingt, so rätselhaft ist es auch. Es ist schon schwer zu denken, dass Zeit eine Ursache haben könnte, wenn nicht vielleicht sogar unsinnig, da Kausalität ja ein Vorher und Nachher impliziert. Möglicherweise kann man das aber anders definieren, wer weiß.
Einen Zeitpunkt, an dem die Zeit aufhört, ist schwer vorstellbar, wurde allerdings wohl tatsächlich von Kosmologen ins Spiel gebracht. Meines Wissens unter anderen, um Wahrscheinlichkeitsaussagen zu ermöglichen. Leider geht das zwischen den anderen Themen unter.
Die nächste Grenze ist das Universum. Ist es unendlich, in sich geschlossen oder geht es irgendwohin weiter. Der Vortragende selbst sagt, dass er das Multiversum für eine sehr gute Erklärung für die Feinabstimmung der Naturkostanten hält. Das folgende basiert jetzt auf dem, was ich mir selbst dazu gedacht habe, auf Basis der wenigen Informationen. Leider kam das Thema im Vortrag kaum zur Sprache.
Das uns bekannte Universum, alles was wir bis zum kosmischen Mikrowellenhintergrund sehen können, ist natürlich begrenzt. Das ist allerdings nur der "Ereignishorizont" in dem wir uns befinden. Das Licht der Bereiche jenseits davon ist möglicherweise bisher noch nicht zu uns gelangt und wird es auch nie, da sich das Universum immer schneller ausdehnt. Leider habe ich meine exakten Kenntnisse von Einstein grade nicht zur Hand, aber man kann sich das wohl durchaus wie den Lichtkegel vorstellen.
Hinweise darauf, dass jenseits des von uns sichtbaren Bereichs noch Masse existieren könnte, gibt es durchaus. Es gibt die astronomische Beobachtung, dass anscheinend Galaxien und Galaxienhaufen irgendwohin angezogen werden.
In sich geschlossen wäre zum Beispiel ein Ring, wenn man lange genug in die selbe Richtung geht, kommt man wieder am Ausgangspunkt an. Nur, hier ist es der Raum selbst, der in sich gekrümmt ist.
Die jetzt sechste Grenze betrifft die Teilbarkeit von Teilchen selbst. Gibt es eine absolute Untergrenze, also "Atome" im Sinne der alten Philosophen, oder kann man sie immer weiter teilen? Nun, diese Frage können wir laut du Sautoy niemals beantworten, was sich sehr plausibel anhört. Leider kam das weder im Vortrag vor, noch weiß ich etwas darüber zu schreiben.
Die siebte und letzte Grenze, die aber kaum zur Sprache kommt, betrifft die Mathematik selbst. Hier wurde explizit der Name Gödel erwähnt. Wir haben es hier mit einem Bereich der höheren Mathematik zu tun. Es bleibt festzuhalten, dass der Unvollständigkeitssatz sich keineswegs auf das Lügnerparadoxon aus dem Neuen Testament reduzieren lässt. Das ist eher eine Veranschaulichung für uns Laienpublikum. In Wahrheit handelt es sich um eine Eigenschaft von formalen Systemen, die bestimmte Kriterien erfüllen. Allerdings erfüllt nicht jedes formale System diese Kriterien, nur eine bestimmte Gruppe, die für Metamathematiker sehr interessant war.
Es gibt eigentlich auch zwei Unvollständigkeitssätze. Um den Leser noch ein bisschen zu verwirren sei angemerkt, dass Gödels Doktorarbeit eben der Beweis eines Vollständigkeitssatzes gewesen ist, auch wenn "Vollständigkeit" hier anders aufzufassen ist.
Aus dem Unvollständigkeitssatz folge jedenfalls, dass nicht alle in einem System formulierbaren wahren Aussagen auch innerhalb des Systems ableitbar sind. Es gibt in der Mathematik aber noch viele andere Sätze, die ihre eigene Erkenntnisfähigkeit begrenzen. Keine Ahnung, ob die noch irgendwo vorkommen.
Zum Verständnis von Gödel gibt es Sekundärliteratur aus verschiedenen Gesichtspunkten und mit verschiedenen Interpretationen.
Ich fand den Vortrag sehr interessant und kurzweilig. Man muss allerdings anmerken, dass der Autor einige verschiedene Grenzen der Erkenntnis zusammenwirft, wie in der Besprechung im Guardian festgestellt wurde. Einige dieser Grenzen betreffen einfach praktische Probleme, etwa wie weit wir Elemantarteilchen spalten können, wie genau wie Anfangsbedingungen messen. Andere scheinen fundamentale Eigenschaften selbst aufzugreifen. Das "hard problem" ist klar mehr ein philosophisches, während das meines Erachtens verworrenste Problem das der Zeit ist. Hier kann man durchaus, wie in der besagten Besprechung, die transzendentalphilosophische Frage aufwerfen, ob Erkenntnis nicht bereits Zeit voraussetzt, da hierfür eine Art Wechselwirkung zwischen erkannten Objekt und erkennenden Subjekt stattfinden muss. Fragt sich nur, wie diese Wechselwirkung zwischen mathematischen Satz und beweisenden Mathematiker stattfinden soll.
Wahrscheinlich reicht mein Abstraktionsvermögen hier einfach nicht aus und ich schreibe grade Unsinn, ohne es zu merken oder wir haben es mit einer weiteren Instanziierung des "hard problems" zu tun.
Was mir noch aufgefallen ist, keine dieser sieben Grenzen berührt kognitive Verzerrungen oder ökonomische Kalkulationen. Ich stelle mir die Frage, ob der Vortragende davon ausgeht, dass der Mensch über eine unendliche Selbstkorrektur verfügt und zur Erkenntnisgewinnung jeden Preis zu zahlen bereit ist. Ein schönes, aber optimistisches Bild.
Auch kommen Paradoxa nicht vor. Beispielsweise gibt jeder Mensch bereitwillig zu, dass er wohl an einige Dinge glauben wird, die falsch sind. Sich also einfach irrt. Dennoch verteidigt jeder seinen Standpunkt, egal wo man diesen in Zweifel zieht. So als wäre das Weltbild als Ganzes wahrscheinlich falsch, aber jedes einzelne Teil unbezweifelbar korrekt.
Ein weiteres Beispiel wäre Fitchs Paradox des Wissens. Auch "Das Paradox des möglichen Wissens" genannt im Deutschen, offenbar, "Fitch’s Paradox of Knowability" im Englischen.
Kritik ist ausdrücklich erwünscht.
Links habe ich weggelassen. Mittels der Informationen kann jeder selbst im Internet suchen.
Dieser Text darf als Antwort auf diesen Beitrag angesehen werden: https://www.trading-stocks.de/thread-379...#pid100299
P.S.: Im Dezember 1931, also vor etwa 90 Jahren, erscheint Gödels Orginalarbeit über die Unvollständigkeit.
